Skip to main content

Als je steeds meer termen in de reeks: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + … optelt (elke breuk is dus de helft van zijn voorganger), dan merk je dat je nooit de 1 bereikt; je komt telkens nét iets te kort.

Nu vragen we ons af of zoiets ook optreedt bij de reeks: 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + … Dus: vinden we in dit geval ook zo’n onbereikbare grens? Of zou je, als je maar lang genoeg met optellen zou kunnen doorgaan, bijvoorbeeld de 10 of de 100 kunnen passeren?

Antwoord

Het lijkt vreemd, maar als je geduld hebt kun je bij het optellen van de breuken elk getal dat je maar wilt passeren, ook 10, 100 of zelfs 1.000.000.

Je kunt dit als volgt begrijpen. We groeperen de breuken op een speciale manier: 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + … + 1/16) + …

De breuken in het eerste groepje zijn samen zeker méér dan 2 × 1/4 = 1/2.

De breuken in het tweede groepje zijn samen zeker méér dan 4 × 1/8 = 1/2.

In het derde groepje is de som zeker méér dan 8 × 1/16 = 1/2.

Je kunt deze redenering zo lang voortzetten als je wilt. De conclusie is dus dat je, als je maar genoeg breuken optelt, je elk antwoord kunt bereiken. Immers: voortdurend wordt er 1/2 bij het totaal gevoegd! Er is dus geen ‘grens’, zoals in het eerste geval.